Álgebra lineal Ejemplos

x - 2 y - z = 2

$x - 2 y - z = 2$

2 x + y - 3 z = 4

$2 x + y - 3 z = 4$

- 2 x + 4 y + 2 z = 6

$- 2 x + 4 y + 2 z = 6$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 2 & 1 & - 3 & 4 - 2 & 4 & 2 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 4 - 2 \cdot 2 - 2 & 4 & 2 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 4 - 2 \cdot 2 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 5 & - 1 & 0 - 2 & 4 & 2 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 5 & - 1 & 0 - 2 & 4 & 2 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila

R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en

3, 1

$3, 1$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 5 & - 1 & 0 - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 2 + 2 \cdot - 1 & 6 + 2 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 2 + 2 \cdot - 1 & 6 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 5 & - 1 & 0 0 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 5 & - 1 & 0 0 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{0}{5} 0 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de

R_{3}

$R_{3}$ por

\frac{1}{10}

$\frac{1}{10}$ para hacer que la entrada en

3, 4

$3, 4$ sea

1

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de

R_{3}

$R_{3}$ por

\frac{1}{10}

$\frac{1}{10}$ para hacer que la entrada en

3, 4

$3, 4$ sea

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{10}{10} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{10}{10} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 2 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para hacer que la entrada en

1, 4

$1, 4$ sea

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ para hacer que la entrada en

1, 4

$1, 4$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 & 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.6

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (- \frac{1}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (- \frac{1}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

x - \frac{7}{5} z = 0

$x - \frac{7}{5} z = 0$

y - \frac{1}{5} z = 0

$y - \frac{1}{5} z = 0$

0 = 1

$0 = 1$

Paso 4

El sistema es inconsistente, por lo tanto, no hay solución.

No hay solución

$No hay solución$